\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
	
\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Группа A.
Математический бой.}
\end{center}

{\bf 1.} Над ориентированным деревом с $n$ вершинами можно проделывать следующую операцию: выбрать вершину, из которой все ребра выходят и поменять ориентацию всех этих ребер. За какое наименьшее количество таких операций любое дерево с $n$ вершинами можно перевести из любой ориентации в любую другую?

{\bf 2.} Для произвольных вещественных чисел $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$
докажите неравенство:
\[ {x_1\over 1+ x_1^2}+ {x_2\over 1+ x_1^2+ x_2^2}+\dots + {x_n\over 1+ x_1^2+ \dots+x_n^2} < \sqrt{n}.\]

{\bf 3.} Пусть $A$ --- множество всех бесконечных целочисленных последовательностей, $f: A\to \mathbb{Z}$ такова, что $\forall s,t\in A \quad f(s+t)=f(s)+f(t)$ и $f(u)=0$ для всех последовательностей $u$, в которых все члены, начиная с некоторого, равны $0$.
Докажите, что $f\equiv 0$.

{\bf 4.} Пусть $I$ и $I_a$ --- центры вписанной окружности $\triangle ABC$ и вневписанной окружности $\triangle ABC$, касающейся стороны $BC$.
Прямая $II_a$ пересекает отрезок $BC$ и описанную окружность $\triangle ABC$ в точках $A'$ и $M$ соответственно.
Точка $N$ --- cередина дуги $MBA$, прямые $NI$ и $NI_a$ пересекают описанную окружность $\triangle ABC$ в точках $S$ и $T$ cоответственно.
Докажите, что точки $S$, $T$ и $A'$ коллинеарны.

{\bf 5.} Последовательность натуральных чисел $\{a_n\} $ такова, что $\forall m,n \in\mathbb{N} \quad (a_m,a_n)=a_{(m,n)}$.
Докажите, что существует последовательность натуральных чисел $\{b_n\}$ такая, что $\displaystyle {\forall n \in \mathbb{N} \quad a_n=\prod_{d|n} b_d}.$

{\bf 6.}  Леша расставил на полке в некотором порядке тома $100$ томного собрания сочинений Л.~Н.~Толстого.
Каждое утро Максим приходит, вынимает  четыре произвольных тома и ставит их на те же места в любом порядке. 
А вечером Леша вынимает три произвольных тома и ставит их на те же места в любом порядке.
Какое наибольшее количество томов Максим заведомо сможет поставить на свои места (после своего хода)?

{\bf 7.}  Дан остроугольный $\triangle ABC$.
На его сторонах, как на основаниях во внешнюю сторону построены равнобедренные треугольники $DAC$, $EAB$ и $FBC$ такие, что $\angle ADC=2\angle BAC$, $\angle BEA=2\angle ABC$, $\angle CFB=2\angle ACB.$
Пусть $D'= DB\cup EF$, $E'=EC\cup DF$ и $F'=FA\cup DE$.
Чему может быть равно $\displaystyle {{DB \over DD'}+ {EC\over EE'} + {FA\over FF'}}$?

{\bf 8.} Докажите, что для любого простого $p\geqslant 5$ cуществует натуральное число $a$ такое, что $1\leq a\leqslant p-2$ и ни $a^{p-1}-1$, ни $(a+1)^{p-1}-1$ не делится на $p^2$.
\end{document}